Rabu, 10 Juni 2015

TURUNAN

1.Turunan fungsi konstan

f(x) = k ⇒ f’(x) = 0

Contohsoal turunan fungsi aljabar fungsi konstan:

a. Turunan dari f(x) = 5 adalah f’(x) = 0

b. Turunan dari f(x) = - 6 adalah f’(x) = 0

2.Turunan fungsi identitas

f(x) = x ⇒ f’(x) = 1

3.Turunan fungsi aljabar berpangkat n

Contoh :
$\\a.\, f(x)=x^4\Rightarrow f'(x)=4x^{4-1}=4x^3\\\\b.\, f(x)=-4x^5\Rightarrow f'(x)=(-4)x^{5-1}=-4x^4$

Rumus fungsi aljabar berpangkat n diatas juga berlaku untuk bilangan berpangkat negatif maupun pangkat pecahan, seperti contoh dibawah ini

c . $f(x)=\frac{1}{x^5}$

[Penyelesaian]
$\\f(x)=\frac{1}{x^5}=x^{-5}\\\\f'(x)=(-5)x^{-5-1}=-5x^{-6}$

d. $f(x)=\frac{4}{\sqrt[3]{x^4}}$

[penyelesaian]
$\\f(x)=\frac{4}{\sqrt[3]{x^4}}=4x^{-\frac{4}{3}}\\\\f'(x)=4.\left ( -\frac{4}{3} \right )x^{-\frac{4}{3}-1}=-\frac{16}{3}x^{-\frac{7}{3}}\\\\f'(x)=\frac{-16}{3x^2\sqrt[3]{x}}$

4.Rumus turunan Jumlah dan selisih fungsi-fungsi

Contoh soal Turunan Jumlah dan selisih fungsi-fungsi,

a. $f(x)=x^4-5x^3+4x^2-x-7$

[Penyelesaian]
$\\f'(x)=4x^{4-1}-5.3x^{3-1}+4.2x^{2-1}-1\\\\f'(x)=4x^3-15x^2+8x-1$

b. $f(x)=(x+3)^2$

[Penyelesaian]

Dengan menggunakan rumus kuadrat suku dua pada materi matematika smp kelas 7 aljabar maka,
$\\f(x)=(x+3)^2=x^2+6x+9\\\\f'(x)=2x^{2-1}+6=2x+6$

c. $f(x)=\sqrt{x}(x^2-x)$

[Penyelesaian]
$\\f(x)=\sqrt{x}(x^2-x)=x^{\frac{1}{2}}(x^2-x)=x^{\frac{5}{2}}-x^{\frac{3}{2}}\\\\f'(x)=\frac{5}{2}x^{\frac{5}{2}-1}-\frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1}\\\\f'(x)=\frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}=\frac{5}{2}x\sqrt{x}-\frac{3}{2}\sqrt{x}\\\\f'(x)=\frac{\sqrt{x}}{2}(5x-3)$

5.Turunan fungsi aljabar hasil kali

Contoh soal turunan fungsi aljabar hasil kali,

Carilah turunan dari , $f(x)=(x^2-5x)(x^3+5)$

[Penyelesaian]
$\\\Leftrightarrow u(x)=x^2-5x,\, maka\, u'(x)=2x-5\\\Leftrightarrow v(x)=x^3+5,\, maka\, v'(x)=3x^2$

Dengan menggunakan rumus turunan fungsi aljabar hasil kali diatas maka diperoleh,

$\\f(x)=(x^2-5x)(x^3+5)\\f'(x)=(2x-5).(x^3+5)+(x^2-5x).(3x^2)\\f'(x)=2x^4+10x-5x^3-25+3x^4-15x^3\\f'(x)=5x^4-20x^3+10x-25$

Rumus turunan fungsi aljabar hasil kali diatas dapat diperluas untuk mencari rumus turunan yang terdiri dari tiga fungsi, yaitu:

Contoh mencari turunan fungsi aljabar yang terdiri dari tiga fungsi:

Tentukan turunan dari, $f(x)=(x^3-2)(x^4+2x^2)(2x^2-3x)$

[Penyelesaian]
$\\\circ u(x)=x^3-2\Rightarrow u'(x)=3x^2\\\circ v(x)=x^4+2x^2\Rightarrow v'(x)=4x^3+4x\\\circ w(x)=2x^2-3x \Rightarrow w'(x)=4x-3$
$\\f(x)=(x^3-2)(x^4+2x^2)(2x^2-3x)\\f'(x)=3x^2.(x^4+2x^2).(2x^2-3x)+(x^3-2).(4x^3+4x).(2x^2-3x)+(x^3-2).(x^4+2x^2).(4x-3)\\f'(x)=14x^8-33x^7+16x^6-40x^5+33x^4-32x^3+48x^2-18x$

6. Turunan fungsi aljabar hasil bagi

Dengan v(x) ≠ 0

Contoh soal turunan fungsi aljabar hasil bagi:

Tentukan turunan dari fungsi berikut ini, $f(x)=\frac{3x^2+x+5}{x^2+x}$

[Penyelesaian]
$\\\circ u(x)=3x^2+x+5\Rightarrow u'(x)=6x+1\\\circ v(x)=x^2+x\Rightarrow v'(x)=2x+1$
$\\f(x)=\frac{3x^2+x+5}{x^2+x}\\f'(x)=\frac{(6x+1).(x^2+x)-(3x^2+x+5).(2x+1)}{(x^2+x)^2}\\f'(x)=\frac{2x^2-10x-5}{(x^2+x)^2}$

Turunan fungsi aljabar aturan rantai

Dengan u (x) fungsi dari x dan n ϵ bilangan real

Contoh soal menentukan turunan fungsi aljabar dengan aturan rantai,

Carilah turunan dari fungsi dibawah ini, $f(x)=\left ( \frac{1}{2}x^2-3x \right )^7$

[Penyelesaian]
$\\f(x)=\left ( \frac{1}{2}x^2-3x \right )^7\\f'(x)=7.\left ( \frac{1}{2}x^2-3x \right )^6.\left ( \frac{1}{2}x^2-3x \right )'\\f'(x)=7\left ( \frac{1}{2} x^2-3x\right )^6\left ( x-3 \right )$

Turunan fungsi aljabar irasional atau bentuk akar

Terkadang dalam menyelesaikan turunan fungsi aljabar, kita menemukan soal dalam bentuk persamaan irasional , ada rumus khusus untuk menentukan turunan fungsi aljabar seperti itu yaitu:

Contoh:

Carilah turunan dari fungsi berikut ini , $f(x)=\sqrt{(3x+2)}$

[Penyelesaian]
$\\f(x)=\sqrt{(3x+2)}\\\\f'(x)=\frac{(3x+2)'}{2\sqrt{(3x+2)}}\\\\f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{(3x+2)}}$

Rumus turunan fungsi aljabar fungsi khusus

Rumus khusus :

Contoh:

Tentukan turunan fungsi dibawah ini, $f(x)=\frac{1}{x^2-2x}$

[Penyelesaian]
$\\f(x)=\frac{1}{x^2-2x}\\f'(x)=-\frac{(x^2-2x)'}{(x^2-2x)^2}\\f'(x)=-\frac{(2x-2)}{(x^2-2x)^2}=-\frac{2(x-1)}{(x^2-2x)^2}$

Kesimpulan:

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)